Conoscenza e capacità di comprensione dei concetti di base dell’algebra lineare e della geometria analitica, delle trasformazioni lineari tra spazi vettoriali e delle matrici rappresentative. Capacità di risoluzione di sistemi di equazioni lineari e di impostazione di un sistema per la risoluzione di problemi, nonché di interpretazione geometrica adeguata utile ,anzi indispensabile, per problemi in ricerca operativa e in ottimizzazione. Capacità di scelta di opportune basi per “ottimizzare” matrici rappresentative di operatori. Capacità di riconoscere curve rappresentate da equazioni di I e II grado nel piano e nello spazio e di risoluzione di problemi con esse connessi. Capacità di comunicazione con linguaggio scientifico, scritto e orale.
1) SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Risoluzione di sistemi a scala – il metodo di eliminazione di Gauss – matrici – rango di una matrice – sistemi lineari compatibili e sistemi lineari incompatibili – sistemi omogenei – operazioni e proprietà fra matrici – determinante di una matrice e proprietà – calcolo della matrice inversa – teorema di Cramer. 2) STRUTTURE ALGEBRICHE e SPAZI VETTORIALI Gruppi. Corpi. Campi. Spazi vettoriali numerici sui reali – spazio vettoriale di segmenti orientati applicati in O - spazi vettoriali di matrici – spazi vettoriali di dimensione finita su un campo K. Sottospazi e sottovarietà affini – insieme di generatori – vettori linearmente dipendenti/indipendenti – basi e dimensione di uno spazio vettoriale –componenti di un vettore rispetto ad una determinata base e loro unicità – operazioni con i sottospazi: intersezione, unione, somma e somma diretta – Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo¬ – teorema di Rouché-Capelli– Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari. 3) GEOMETRIA AFFINE Riferimenti cartesiani sulla retta, nel piano e nello spazio – la geometria analitica dello spazio: rette, piani e mutue posizioni– equazioni cartesiane, parametriche e vettoriali di rette e piani – condizioni analitiche di appartenenza e parallelismo – fasci e stelle di rette e di piani – rette complanari e rette sghembe – condizione di complanarità per rette. 4) TRASFORMAZIONI LINEARI Trasformazione lineare - trasformazione lineare associata ad una matrice – matrice di una trasformazione lineare - nucleo ed immagine di una trasformazione - trasformazione lineare iniettiva/suriettiva/biettiva – criterio di iniettività – teorema delle dimensioni– composizione di trasformazioni lineari e matrici ad esse associate – cambiamenti di base per uno spazio vettoriale a dimensione finita – endomorfismi e matrici simili. 5) DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Endomorfismi – Sottospazi invarianti - Autovalori ed autovettori di un endomorfismo – determinazione analitica di autovalori e autovettori – problemi algebrici relativi alla ricerca degli autovalori – esistenza di una base di autovettori e diagonalizzazione – criterio di diagonalizzabilità di una matrice – invarianti per matrici simili. 6) SPAZI VETTORIALI METRICI E GEOMETRIA EUCLIDEA Prodotto scalare canonico e prodotto Hermitiano– Spazi vettoriali metrici - sottospazi ortogonali – sottospazi ortogonali complementari – prodotto vettoriale e prodotto misto in R3 – ortogonalità fra rette, fra piani e fra rette e piani – distanze fra punti, punto-retta, punto-piano – proiezione di un vettore su un altro – coefficienti di Fourier – ortogonalizzazione di Gram-Schmidt – basi ortogonali e basi ortonormali –componenti di un vettore rispetto ad una base ortogonale o rispetto ad una base ortonormale. 7) OPERATORI SIMMETRICI e AUTOAGGIUNTI Formula di aggiunzione - Operatori simmetrici e loro proprietà – Teorema spettrale e diagonalizzabilità. Scomposizione di un operatore simmetrico come combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi. 8) CONICHE NEL PIANO Sezioni coniche - Luoghi geometrici: Ellisse, parabola , iperbole – Equazione generica di una conica - Matrici associate ad una conica - Coniche generali e coniche degeneri - Classificazione delle coniche - Ricerca di centro e assi per le coniche a centro - Ricerca di vertice,asse e tangente nel vertice per le parabole - Forme canoniche. 9) QUADRICHE Definizione, equazioni, classificazi
Lezioni frontali, utilizzando la lavagna, con esempi adeguati all’argomento,e, ove possibile,controesempi. Esercitazioni frontali ed esercizi proposti per casa.al fine di ottenere un consolidamento delle nuove conoscenze apprese . Gli strumenti didattici saranno tradizionali La metodologia didattica avra’ prima carattere analitico e successivamente sintetico.
Prova scritta e prova orale. Prova scritta:lo studente deve dimostrare di sapere applicare la teoria studiata mediante il corretto svolgimento di alcuni esercizi. Tale prova è valutata in trentesimi. Gli studenti che ottengono almeno 15/30 possono e devono sostenere la prova orale che accerta la comprensione dei concetti e i loro collegamenti. Anche tale prova è valutata in trentesimi. Il voto finale è la media fra i voti ottenuti nelle due prove ( scritta e orale). L’apprendimento si ritiene sufficiente se lo studente ottiene voto finale maggiore o uguale a 18/30.
- (S. Abeasis: “Elementi di algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore; - M. Abate: “Geometria”, McGraw-Hill Libri Italia srl; - E.Schlesingr : Algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore; - L.Mauri- E.Schlesingr : Esercizi di algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore;
Prof. Luca Dell'Aglio
Descrizione blocco argomenti 1 Presentazione ed introduzione al corso (2 ore) Sistemi di equazioni lineari (8 ore) Strutture algebriche (2 ore) Spazi vettoriali (7 ore) Matrici e determinanti (6 ore) Trasformazioni lineari (8 ore) 33 12 74 Vedi testi consigliati Descrizione blocco argomenti 2 Geometria affine (5 ore) Spazi vettoriali metrici e geometria euclidea (7 ore) Diagonalizzazione di matrici (4 ore) Endomorfismi autoaggiunti (3 ore) 19 9 47 Vedi testi consigliati Descrizione blocco argomenti 3 Coniche nel piano e cenni di quadriche (6 ore) 6 2 14 Vedi testi consigliati] Ore riservate allo sviluppo delle competenze trasversali (possono essere previste anche ore di lezione frontale) 2 4 Tesine/altri homework Ulteriori ore da dedicare alla preparazione dell'esame (es. ore che gli studenti dedicano allo svolgimento di precedenti tracce d’esame) 3 TOTALE 60 23 142 ORE COMPLESSIVE 225
Basic concepts of geometry and algebra learned at the high scool.
Knowledge and understanding of the basic concepts of linear algebra and analytical geometry, linear transformations between vector spaces and matrix representative. Ability to solve systems of linear equations and setup of a system for solving problems, as well as geometric interpretation adequate useful, indeed essential, to problems in operations research and optimization .. capacity choice of suitable bases to "optimize" representative matrices of operators. Ability to recognize curves represented by equations of first and second degree in two and three dimensions and resolution of problems associated with them. Communication skills with scientific language, written and oral.
Lectures, using the blackboard, with examples appropriate to the subject and, where possible, counterexamples. Homework .devoted to obtain a consolidation of the new knowledge learned .The educational tools will be traditional. The teaching methodology will have first analytical and later synthetic charecter.
Lectures, using the blackboard, with examples appropriate to the subject and, where possible, counterexamples. Homework .devoted to obtain a consolidation of the new knowledge learned .The educational tools will be traditional. The teaching methodology will have first analytical and later synthetic charecter.
Written and oral exam. Written test: the student must demonstrate to know to apply the theory studied by the proper conduct of exercises. This test will be marked out of thirty. Students who get at least 15/30 can and should take the oral exam that ensures understanding of the concepts and their connections. Although this test will be of thirty. The final grade is the average of the marks obtained in the two tests (written and oral). Learning is considered sufficient if the student gets final grade greater than or equal to 18/30.
- (S. Abeasis: “Elementi di algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore; - M. Abate: “Geometria”, McGraw-Hill Libri Italia srl; - E.Schlesingr : Algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore; - L.Mauri- E.Schlesingr : Esercizi di algebra lineare e geometria”, Zanichelli Editore;
Prof. Luca Dell'Aglio
Descrizione blocco argomenti 1 Presentazione ed introduzione al corso (2 ore) Sistemi di equazioni lineari (8 ore) Strutture algebriche (2 ore) Spazi vettoriali (7 ore) Matrici e determinanti (6 ore) Trasformazioni lineari (8 ore) 33 12 74 Vedi testi consigliati Descrizione blocco argomenti 2 Geometria affine (5 ore) Spazi vettoriali metrici e geometria euclidea (7 ore) Diagonalizzazione di matrici (4 ore) Endomorfismi autoaggiunti (3 ore) 19 9 47 Vedi testi consigliati Descrizione blocco argomenti 3 Coniche nel piano e cenni di quadriche (6 ore) 6 2 14 Vedi testi consigliati] Ore riservate allo sviluppo delle competenze trasversali (possono essere previste anche ore di lezione frontale) 2 4 Tesine/altri homework Ulteriori ore da dedicare alla preparazione dell'esame (es. ore che gli studenti dedicano allo svolgimento di precedenti tracce d’esame) 3 TOTALE 60 23 142 ORE COMPLESSIVE 225